Modeling and Information System in Economics
ISSN 2708-9746
Про оцінки точності моделювання звуження броунівського листа на частину кола в просторі Hsp
On estimates of modeling accuracy for brownian sheet`s restriction on the part of a circle in space Hsp
DOI:
10.33111/mise.100.21
Анотація: У роботі узагальнено результати, отримані у роботах Параньяпа, Парка, Клесова, Круглової, Диховичного (Paranjape, Park, Klesov, Kruglova, Dykhovychnyi). Зокрема, знайдено найбільш точну апроксимацію розподілу максимуму звуження (restriction) поля Ченцова (Chentsov field, Brownian sheеt в англомовній літературі) на частину кола. Потреба у розгляді подібних задач пов’язана із дослідженням таких фізичних явищ, як перколяція (percolation) (протікання) та фільтрація (filtration). Оскільки знаходження точного розподілу вказаного максимуму є проблематичним, авторами запропоновно розвязання цієї задачі шляхом чисельного моделювання (simulation) відповідного випадкового процесу. Для цього у статті розроблено новий алгоритм моделювання гауссівського процесу Y(t) з нульовим математичним сподіванням і ко варіаційною функцією спеціального виду. Цей алгоритм має високу швидкодію(high speed), потрібність у якій зумовлена великою кількістю точок розбиття траекторії процесу. Доведено, що усі моменти, а, отже, й скінченно-вимірні (finite-dimensional)розподіли змодельованого процесу збігаються до відповідних характеристик процесу Y(t). За- пропоновано новий спосіб параметризації звуження поля Ченцова на чверть кола. На підставі цього способу параметризації процесу Y(t) новий алгоритм моделювання застосовано для моделювання звуження поля Ченцова на частину кола. Знайдено асимптотику похибки моделювання у просторі HSP. Доведено, що норма похибки у просторі HSP спадає як O N 1 , де N — кількість точок моделювання. Для перевірки якості алгоритму проведено порівняння емпіричних оцінок основних статистичних характеристик змодельованого й теоретичного процесів, та підтверджено їхній збіг. Для змодельованого процесу знайдено емпіричний розподіл максимуму процесу, для якого підібрано найближчий теоретичний роз- поділ. Як найприйнятніший розподіл обрано розподіл Вейбулла (Weibull), що підтверджено критерієм Колмогорова, а також Q-Q та P-P діаграмами. Моделювання виконано в середовищі програмування R.
Abstract: . In this paper, we generalize the results obtained by Paranjape, Park, Klesov, Kruglova, Dykhovychnyi. In particular, we find the most precise approximation of the distribution of the maximum of Chenstov field (Brownian sheet) restricted to a part of a circle. The need for such an approximation comes from modeling physical phenomena like percolation and filtration. Since finding the exact distribution is problematic, we propose a numerical solution to the problem by performing a simulation of the corresponding stochastic process. For this purpose, we develop a novel algorithm to model a Gaussian process Y t( ) with zero mean and the special covariance function. The proposed algorithm has high computational efficiency, which is crucial when the number of points partitioning the process’s trajectory is large. We prove that all moments as well as finite-dimensional distributions of the modeled process converge to the corresponding characteristics of the process Yt() . We propose a new way to parameterize a Chentsov field on a quarter of a circle. This parameterization of the process Yt() is utilized to model a restriction of the Chentsov field on a part of a circle. Also, we determine asymptotic behavior of the model error in HSP space. We prove that the norm of the error in this space is O N -1, where N is the number of modeled points. We verify the proposed algorithm’s correctness by comparing obtained empirical estimates of the distribution of maximum with the theoretical ones and show that they coincide. We obtain an empirical distribution of maximum of the modeled process and find its best theoretical approximation, which turns out to be the Weibull distribution. This is verified with Kolomogorov criterion as well as Q-Q and P-P diagrams. All simulations are performed in R statistical computing environment.
Ключові слова: Броунівський лист; поле Ченцова; випадкове поле; перколяція; гауссівський процес; розподіл максимуму; моделювання; мова R.
Key words: Brownian sheеt; Chentsov field; random field; percolation; Gaussian process; distribution of the maximum; simulation; R language.
УДК: 519.218
UDC: 519.218
To cite paper
In APA style
Demianenko, O., Kruhlova, N., & Dykhovychnyi, O. (2020). On estimates of modeling accuracy for brownian sheet`s restriction on the part of a circle in space Hsp. Modeling and Information System in Economics, 100, 123-137. http://doi.org/10.33111/mise.100.21
In MON style
Дем’яненко О.О., Круглова Н.В., Диховичний О.О. Про оцінки точності моделювання звуження броунівського листа на частину кола в просторі Hsp. Моделювання та інформаційні системи в економіці. 2020. № 100. С. 123-137. http://doi.org/10.33111/mise.100.21 (дата звернення: 11.04.2025).
With transliteration
Demianenko, O., Kruhlova, N., Dykhovychnyi, O. (2020) Pro otsinky tochnosti modeliuvannia zvuzhennia brounivskoho lysta na chastynu kola v prostori Hsp [On estimates of modeling accuracy for brownian sheet`s restriction on the part of a circle in space Hsp]. Modeling and Information System in Economics, no. 100. pp. 123-137. http://doi.org/10.33111/mise.100.21 [in Ukrainian] (accessed 11 Apr 2025).
# 100 / 2020
Download Paper
66
Views
11
Downloads
0
Cited by
- Paranjape S. R., Park C. Distribution of the supremum of the two parameter Yeh-Wiener process on the boundary. Journal of Applied Probability.Vol. 10, No. 4 (Dec., 1973), p. 875–880.
- І.І. Клесов. Про ймовірність досягнення криволінійного рівня вінерівським полем. Теор. ймовірност. та матем. статист. Вип. 51, 1994, с.62-66.
- Клесов О. I., Круглова Н. В. Розподiл функцiоналiв типу максимуму для поля Ченцова в R3. Науковi вiстi НТУУ «КПI». 2007. № 6. с.145–150.
- Н.В. Круглова, О.О. Диховичний, І.В. Алєксєєва, Н.В. Богданова Про розподіл максимуму поля Ченцова на «сходинках», ММС, 2020, 1, с. 128-139.
- Dykhovychnyi O. O., Kruglova N. V. Simulation of a gaussian process with correlation function of a special form //International conference" Stochastic Equations, Limit Theorems and Statistics of Stochastic Processes dedicated to the 100th anniversary of II Gikhman. 2018. с. 17-22.
- L. Doob, Heuristic approach to Kolmogorov-Smirnov theorems, Ann. Math. Statist. 20 (1949), p. 393-403.
- Yeh J. Wiener measure in a Space of Functions of Two Variables. Transactions of the American Mathematical Society, № 95.1960. p. 433–450.
- Allen E.J. Modeling with Ito Stochastic Differential Equations, Dordrecht: Springer, 2007, 228 p.
- URL: http://cran.us.r-project.org.
- Gnedenko B.V. Sur la distribution limite du terme maximum d’une s´erie al´eatoire. Ann. Math., № 44 (1943), р. 423-453.