Modeling and Information System in Economics
ISSN 2708-9746
Про моделювання одного класу динамічних процесів
About simulation of one class of dynamic processes
DOI:
10.33111/mise.101.4
Анотація: Метою роботи є розробка дискретних математичних алгоритмів для рівняння конвективної дифузії з явною організацією обчислень. Наявність у математичній моделі конвективного члена створює додаткові математичні труднощі при побудові та реалізації обчислювальних алгоритмів. Розглянуто задачу математичного моделювання нестаціонарних процесів конвективної дифузії і теплопровідності. Для чисельного розв’язання багатовимірних початково-крайових задач дифузії і теплопровідності запропоновано підхід, який використовує ідею розщеплення та реалізацію отриманих різницевих схем за допомогою явних схем біжучої хвилі, досліджено диференціальні властивості функціонала якості, запропоновано ітераційний алгоритм визначення оптимального керування. У статті розвиваються методи математичного моделювання та оптимізації процесів дифузії (теплопровідності) у вигляді прямих та екстремальних завдань для багатовимірних параболічних рівнянь. Для чисельного розв’язання нестаціонарних рівнянь дифузії запропоновано підхід, який використовує ідею розщеплення та реалізацію отриманих різницевих схем за допомогою явних схем рахунку, що біжить. Розглянуто та досліджено питання побудови схем розщеплення, апроксимації та стійкості явних різницевих схем за початковими даними. Для чисельного розв’язання задачі оптимального керування вивчено диференціальні властивості функціоналу якості, запропоновано ітераційний алгоритм визначення оптимального керування. Реалізація запропонованого підходу до вирішення просторових нестаціонарних рівнянь дифузії на багатопроцесорних обчислювальних системах із розподіленою пам’яттю дозволить значною мірою скоротити часові витрати
Abstract: . The aim of the work is to develop discrete mathematical algorithms for the convective diffusion equation with explicit organization of calculations. The presence of a convective term in the mathematical model creates additional mathematical difficulties in the construction and implementation of computational algorithms. The problem of mathematical modeling of nonstationary processes of convective diffusion and thermal conductivity is considered. An approach using the idea of splitting and realization of the obtained difference schemes with the help of explicit traveling wave schemes is proposed for numerical solution of multidimensional initial-boundary diffusion and thermal conductivity problems. Differential properties of quality functional are investigated, iterative algorithm for optimal control. The article develops methods of mathematical modeling and optimization of diffusion (thermal conductivity) processes in the form of direct and extreme problems for multidimensional parabolic equations. For the numerical solution of nonstationary diffusion equations, an approach is proposed that uses the idea of splitting and realization of the obtained difference schemes with the help of explicit schemes of a running account. The question of construction of schemes of splitting, approximation and stability of explicit difference schemes according to initial data is considered and investigated. To numerically solve the problem of optimal control, the differential properties of the quality functional are studied, and an iterative algorithm for determining optimal control is proposed. The implementation of the proposed approach to solving spatial nonstationary diffusion equations on multiprocessor computing systems with distributed memory will significantly reduce time costs.
Ключові слова: Параболічне рівняння, чисельний метод, методи розщеплення, різницева схема, стійкість.
Key words: parabolic equation, optimal control problem, numerical method, splitting methods, difference scheme, stability.
УДК: 517:519.6
UDC: 517:519.6
To cite paper
In APA style
Hladka, Y., Kinash, A., & Kharkianen, O. (2021). About simulation of one class of dynamic processes. Modeling and Information System in Economics, 101, 32-42. http://doi.org/10.33111/mise.101.4
In MON style
Гладка Ю.А., Кінаш А.В., Харкянен О.В. Про моделювання одного класу динамічних процесів. Моделювання та інформаційні системи в економіці. 2021. № 101. С. 32-42. http://doi.org/10.33111/mise.101.4 (дата звернення: 11.04.2025).
With transliteration
Hladka, Y., Kinash, A., Kharkianen, O. (2021) Pro modeliuvannia odnoho klasu dynamichnykh protsesiv [About simulation of one class of dynamic processes]. Modeling and Information System in Economics, no. 101. pp. 32-42. http://doi.org/10.33111/mise.101.4 [in Ukrainian] (accessed 11 Apr 2025).
# 101 / 2021
Download Paper
93
Views
28
Downloads
0
Cited by
- Марчук Г. И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. Москва. Наука, 1982. 320 с.
- Егоров, А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. Москва. Наука, 1978. 463 с.
- Егоров, А.И. Основы теории управдения. Москва. Физматгиз, 2004. 504 с.
- Згуровский М.З., Скопецкий В.В., Хрущ В.К., Беляев Н.Н. Численное моделирование распространения загрязнения в окружающей среде. Киев: Наук. думка. 1997. 368 с.
- Сергиенко И.В., Скопецкий В.В., Дейнека В.С. Математическое моделирование и исследование процессов в неоднородных средах. Киев, Наук. думка, 1991. 432 с.
- Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. Москва. Едиториал УРСС, 2003. 784 с.
- Саульев В.К. Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток. Москва. Физматгиз, 1960. 324 с.
- Samarskii A.A., Vabishchevich P.N. Numerical methods for solving inverse problems of mathematical physics. Berlin.Walter de Gruyter, 2007. 438 p
- Vabishchevich P. N. and Vasil’ev V. I., Computational algorithms for solving the coefficient inverse problem for parabolic equations. Inverse Probl. Sci. Engin. 2016. Vol.24. N. 1, P. 42–59.
- Вабищевич П.Н., Васильева М.В., Васильев В.И. Вычислительная идентификация правой части параболического уравнения. Журн. вычисл. матем. и матем. физики, 2015. Т. 55, N 6. С. 1020–1027.
- Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. Москва. Наука, 1977. 440 с.
- Агошков В.И. Методы оптимального управления и сопряженных кравнений в задачах математической физики. Москва. ИВМ РАН, 2004. 256 с.
- Дейнека В.С., Сергиенко И.В. Модели и методы решения задач в неоднородных средах. Киев, Наук. думка, 2001. 606 с.
- Ильин В.П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений. Новосибирск. Изд. ИМ СО РАН, 2001. — 318 с.
- Vabishchevich P. N., Zakharov P.E. Explicit-implicit splitting schemes for parabolic equations and systems. Numerical methods and applications. Springer, 2015, P. 157-166.
- Марчук Г. И. Методы расщепления. Москва. Наука, 1988. 264 c.
- Gladky A. V. Stability of difference splitting schemes for convection diffusion equation. Cybernetics and Systems Analysis. 2017. Vol. 53, No. 2. P. 193–203.
- Gladky A. V. Analysis of splitting algorithms in convection–diffusion problems. Cybernetics and Systems Analysis. 2014. Vol. 50. N. 4. P. 548– 559.
- Vabishchevich P.N. On a new class of additive (splitting) operator_difference schemes. Math. Comput. 2012.Vol. 81. N. 277. P. 267–276.
- Vabishchevich P. N. Flux-splitting schemes for parabolic problems. Computational Mathematics and Mathematical Physics.2012. Vol. 52. N. 8. P. 1128–113.
- Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. Москва. Наука, 1973. 416 с.
- Г. И. Марчук, Агошков В.Н. Введение в проекционно-сеточные методы. Москва. Наука, 1981.416 с.
- Алифанов, О.М. Экстремальные методы решения некорректных задач. Москва. Наука, 1988. 288 с.
- Васильев П. Ф. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. — 824 с.
- Гладкий А.В., Гладкая Ю.А. Об одной схеме расщепления в задачах диффузии и теплопроводности. Кибернетика и системный анализ, 2019. Т. 55. №6. С.122-133.